Brace, Paren, Semicolon.

受験勉強中

ここ最近の振り返り

前回の振り返り記事を書いてから1ヶ月ほど経ってしまった。

oimou.hateblo.jp

受験勉強

1日のリズム

相変わらず以下のリズムでやっている。

08:00-18:00

  • ポモドーロタイマーを使って25分集中・5分休憩の繰り返し

18:00-

  • 好きなことを勉強(とはいえ全部受験勉強絡み)
  • 21:00くらいには滅茶苦茶眠くなってくる

集中力が切れてくる夕方あたりのポモドーロタイマーは鬼👹

負の感情と戦う

宅浪する人が絶対にぶつかる壁が「負の感情」らしい。

日中はインターバルトレーニングみたいな感じで勉強してるので,一旦何かにイライラしはじめると目に見えて効率が落ちてしまう(ひどいときは2時間くらい同じ演習問題をやってたり)。効率が落ちてしまうことでさらに負の感情のスパイラルに陥ったりする。

そういうときは全力で自分の負の感情に向き合う。負の感情を生み出す原因を紙にリストアップして,解決できるものはすぐ解決する。ノイズの原因は様々だけど,だいたいは

  • 勉強が進まない焦り
  • 落ちることへの不安

からくる。

勉強が進まない焦りについて

勉強が進まないように感じるのはほぼ気のせいなので「無理のないスケジュールをきちんと立てること」「バーンアップチャートを毎日書くこと」で自分の歩みを実感できて安心できる。

落ちることへの不安

(受験に)落ちることへの不安は受からないと解決しないのでどうしようもないんだけど,常に付きまとう。これについては「外の空気を吸いにいく」という解決策が一番効果的。閉め切った部屋にいると本当に酸素が足りなくなっていることがあるので,外の空気を吸ってリフレッシュする。

これらのストレス源は自分でどうにかするしかないが,見方を変えると自分でどうにかできるので,ポジティブに行こう💪

全体的な進捗

英語・数学は大丈夫そうなので,次は物理・化学を固めていかないとという感じ。夏に模試があるので一旦そこを目標にしていく。

受験勉強以外

毎週のもくもく会

もくもく会以外は特に何もしてない気がする…?

気持ち

オープンコースウェア

オープンコースウェア(Open Course Ware)というものがあります。

オープンコースウェア - Wikipedia

オープンコースウェアとは,大学や大学院の授業をオンライン公開する取り組みのことで,YouTube 上などで気になる講義を選んで視聴することができます。

2003年に MIT が始めたのが初めだそうで,チャンネルを見るとかなり豊富に動画が揃っているのが分かりますね!

www.youtube.com

www.youtube.com

www.youtube.com

www.youtube.com

ここ数日ほど腱鞘炎で右手が動かなかったので少し受験勉強を休まざるをえず😨 仕方なくいくつか日本の大学の講義を見ながら要所要所左手でノートを取っていました。


慶應大学 理工学部 講義 熱物理 第一回 内部エネルギー

慶応大の熱物理,全十四回+補講。ちょうど熱力学の勉強中でタイムリーでした。補講でちょろっと情報理論エントロピーとの繋がりが話されています。


慶應大学講義 応用確率論 第一回 概要、事象と確率分布

同じく応用確率論。全十四回。応用なので測度論的な話題はほとんど出てきません。確率過程について理解不足だった部分が補完できて良かったです。

今までプログラミングなどを勉強するのに動画系サービスは自分には向かないと思って敬遠していましたが,動画も良いなあと新しい発見がありました(右手が動くに越したことはないですが。。)

Three.js でリーマン積分をインタラクティブ可視化してみた

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スクリーンショット

(ほぼ)毎週開催のもくもく会でこのようなものを作ってみた。

jsfiddle.net

本当はパラメトリック曲面でやったり色々試みたかったけど時間内に収めるには WebGL 力が足りなかった!

数学的に厳密でないところがあるのは大目に見てください😵

ブラウン運動(ウィーナー過程)と確率空間のイラスト

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ブラウン運動 - Wikipedia

ブラウン運動は,微粒子のランダムな運動の観測から発見された現象です。物理学,金融工学など広い分野で応用されています。

今回はブラウン運動を確率論的に捉えるための準備として,ウィーナー過程についてメモがてら書きたいと思います。イラストを描きながら理解していきたい。

なお,まだまだ勉強中なのでおかしなところがあればツッコミをお願いします🙏

§ ウィーナー過程とは

ウィーナー過程というのはブラウン運動数理モデルです。

数学におけるウィーナー過程(ウィーナーかてい、Wiener process)は、ノーバート・ウィーナーの名にちなんだ連続時間確率過程である。ウィーナー過程はブラウン運動数理モデルであると考えられ、しばしばウィーナー過程自身をブラウン運動と呼ぶ。

引用元:ウィーナー過程 - Wikipedia

§ ウィーナー空間

まず確率空間・確率過程・実現値の関係についての説明を書く前に,全体像のイラストを載せておきます。

▼確率空間・確率過程・実現値の関係*1

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ウィーナー空間とは確率空間の一種です。

なお簡単のため1次元のブラウン運動d = 1)を考えることにして,次元をあらわす文字 d は省略します。

経路空間の定義: {\bf W}{\bf T}\lbrack 0, \infty ) または \lbrack 0, T \rbrack)上の {\bf R}-値連続関数の全体とし,{\bf W} のσ-加法族を \mathcal{B}({\bf W}) とする(このとき ({\bf W}, \mathcal{B}({\bf W})) は可測空間をなす)。
確率測度の導入: ウィーナー測度 P *2を持つ確率空間 ({\bf W}, \mathcal{B}({\bf W}), P)ウィーナー空間と呼ぶ。ウィーナー空間上の可測関数をウィーナー汎関数と呼ぶ。

ここではウィーナー測度 P が満たすべき性質は省略していますが,確率測度ならなんでも良いわけではなく特別な定義*3があります。そのことと同値な定義を以下に与えます。

ブラウン運動の性質: ({\bf W}, \mathcal{B}({\bf W})) 上の確率分布がウィーナー測度である連続確率過程をブラウン運動と呼ぶ。このことと,({\bf W}, \mathcal{B}({\bf W})) 上の連続確率過程 B = \lbrace B_{t}; t \in {\bf T} \rbrace が以下の性質をみたすことは同値である:
(1) B_{0} = 0
(2) 定常増分かつ独立増分を持つ
(3) 各 t > 0 に対し,B_{t} ~ N(0, t)
ウィーナー空間の見本過程*4
W = \lbrace W_{t}, t \in {\bf T} \rbrace (W_{t}: {\bf W} \ni w \mapsto w(t) \in {\bf R})
ブラウン運動である。

ちなみに,ここで {\bf W} がなすヒルベルト空間 L^{2} は,部分空間としてカメロン-マルチン空間というものを持っていて,ここで実現値からフーリエ展開によってウィーナー測度を得ることができるらしいんですが,計算が非常にややこしいため省略します😱

§ 弱義確率過程と可測確率過程

一般に確率過程は,時系列に並んだ確率変数の系として表されます。よってウィーナー過程の場合は,ウィーナー汎関数の系がウィーナー過程となります。

▼ウィーナー汎関数の系

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ウィーナー汎関数のはたらきを考える前に,確率過程に対してより強い定義を与えておきます。

単なる確率変数の系(つまり可測関数 X:\Omega \rightarrow {\bf R}の関数列 \lbrace X_{t}; t \in {\bf T} \rbrace)は弱義確率過程と呼ばれ,見本過程の解析には不十分です。よって以下の確率過程を考えます。

確率空間上に定義される写像
X:{\bf T} \times \Omega \ni (t, \omega) \longmapsto X_{t}(\omega) \in {\bf R}
が可測であるとき,X = (X_{t}(\omega))可測確率過程という*5。また X と同値な弱義確率過程が存在するとき X を弱義確率過程の可測変形という。

ここでウィーナー過程を可測確率過程と捉えてウィーナー汎関数のはたらきを図示すると,以下のようになります。ウィーナー汎関数が実数値関数 w を引数に取って実現値を返すような形です。

▼ウィーナー汎関数のはたらき

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§ まとめ

今回はウィーナー空間の構造についてまとめました。到達時間分布やマルチンゲール性など確率過程の性質についても追ってまとめていきたいと思います!

§ 参考文献

*1:簡単のため離散過程っぽく書いていますが,ウィーナー過程は連続確率過程です

*2:初期分布 \mu を明示すると P_{\mu} となります。また初期分布が出発点を x とするディラック測度 \delta_{x} であるとき P_{x} となります。今回は簡単のため原点から出発するものとし,下付き文字を省略しています。

*3:Wiener measure and Brownian motion などを参照ください

*4:個々の時間の関数 {\bf T} \ni t \mapsto X_{t} を見本関数と呼び,その系が見本過程です

*5:確率過程を構成する個々の時間の関数 w を確率的に取ってくるイメージでしょうか…

今週の振り返り

前回:

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受験勉強

今週は確率と図形がメイン。確率については,演習をひたすらこなしているだけだとモチベーションが上がらないので,測度論の勉強も一緒に進めた。やり方としては,演習問題をこなすのにあわせて測度空間の絵を描いたりしてみるという感じ。受験に限らず,確率論は将来必ず使うことになるから,モチベーションが高いときに全力を傾けるスタイル。

測度論の手法自体は受験数学には直接かかわらないけど,それでも測度空間のイメージを掴んだおかげで,確率や事象に対するイメージが抽象的だったのがかなりハッキリした。ケアレスミスで間違うことはままあるけど,問題を読んでから解法フローの組み立てるのにほとんど迷わなくなったし,ミスの振り返りのときも原因がハッキリ分かるようになった。

また,確率論の教科書を読むにあたって位相空間論の知識が欠けていたので,大学時代にかじったところを復習&補完した。

使っている教科書はこちら。

集合・位相入門

集合・位相入門

基本的に以下の方針で進めた。

  • とにかく絵を描く
  • モチベーションが上がらない章は一旦飛ばして,先で飛ばした部分の知識が必要になったら戻ってくる
  • 証明を追う

これで「 L^{p}(\Omega, \Sigma, P) はノルム ||X||_p = E(|X|^p)^{1/p} によって実バナッハ空間をなす」とか言われても読める!読めるぞ!!(感動)

受験勉強以外

職務経歴書

基本的に今は受験勉強に集中だけど,いざという時のために職務経歴書をまとめていた。

シャノンのエントロピーの論文

離散情報パートを読み終わったので,ブログ用に下書きをまとめているところ。

確率変数と確率分布の絵を描いてみる

確率変数と確率分布についてほんの少し理解が深まったので絵を描き直してみた。間違いがあればご指摘いただけると助かります🙏

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確率空間 (\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{R}) から可測空間 (S, \mathcal{S}) への \mathcal{A}/\mathcal{S}-可測関数 X が,確率変数である。
また, (S, \mathcal{S}) 上に導入される確率測度 P \circ X^{-1}X確率分布という。

あやふやなこと

  • 測度は集合関数だけど,可測関数 X は点関数のはずだから,逆関数 X^{-1} が集合族上で働いているのはなぜなのか
  • 確率変数の表記が色々ある件について*1

参考資料

*1:文脈によって判断するしかなさそう 確率の記法 - 機械学習の「朱鷺の杜Wiki」

先週の振り返り

土日に旅行していて振り返りを書くタイミングが無かったので,1日遅れたけど書きますね。 前回のはこれ。

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受験勉強

先週は確率関連の勉強が中心だった。

日がな一日演習問題を解き続けていたら,これまでの人生,確率関連の問題をほとんど雰囲気で解いてきていたことに気づいてしまった😱 そんな調子なので,問題を間違えても論理的に振り返りができない。これはマズイ…。苦手意識は無かったけど実は苦手科目だったみたい。

ということで,ひとつ問題を解いたあとの振り返りとして「わからないことは何か」「なぜこの解答は間違いなのか」明確化するようにして,ゆっくり取り組んだ。おかげで,論理的に解法フローを立てて解けるようになってきたと思う。

受験勉強以外

UnlimitedHand

UnlimitedPaint

もくもく会で作っていたものが動いてくれたので,ひとまずリポジトリを作った。

筋電義手関連

筋電義手関連で,本屋に行ったり論文を漁ったりした。

群論

群論はしばらく継続的に取り組めているのでよしよし。ところで受験勉強をしてるときにバーンサイド補題を使いたい機会があるけど,理解が甘いのかあんまり使いこなせてない…

シャノンのエントロピーの論文

シャノンのエントロピーの論文(A Mathematical Theory of Communication)を読んでいる。これは,ノートを1冊潰して論文を読む練習をしたい,という謎のモチベーションによるもの。一緒に測度論的確率論の勉強ができてとてもありがたい!

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箱根

大学時代の同期5人で箱根旅行に行ってきた!受験に向かう不安とか話せたので良かった。