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Brace, Paren, Semicolon.

脳科学を勉強しているエンジニアのようなもの

ブラウン運動(ウィーナー過程)と確率空間のイラスト

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ブラウン運動 - Wikipedia

ブラウン運動は,微粒子のランダムな運動の観測から発見された現象です。物理学,金融工学など広い分野で応用されています。

今回はブラウン運動を確率論的に捉えるための準備として,ウィーナー過程についてメモがてら書きたいと思います。イラストを描きながら理解していきたい。

なお,まだまだ勉強中なのでおかしなところがあればツッコミをお願いします🙏

§ ウィーナー過程とは

ウィーナー過程というのはブラウン運動数理モデルです。

数学におけるウィーナー過程(ウィーナーかてい、Wiener process)は、ノーバート・ウィーナーの名にちなんだ連続時間確率過程である。ウィーナー過程はブラウン運動数理モデルであると考えられ、しばしばウィーナー過程自身をブラウン運動と呼ぶ。

引用元:ウィーナー過程 - Wikipedia

§ ウィーナー空間

まず確率空間・確率過程・実現値の関係についての説明を書く前に,全体像のイラストを載せておきます。

▼確率空間・確率過程・実現値の関係*1

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ウィーナー空間とは確率空間の一種です。

なお簡単のため1次元のブラウン運動d = 1)を考えることにして,次元をあらわす文字 d は省略します。

経路空間の定義: {\bf W}{\bf T}\lbrack 0, \infty ) または \lbrack 0, T \rbrack)上の {\bf R}-値連続関数の全体とし,{\bf W} のσ-加法族を \mathcal{B}({\bf W}) とする(このとき ({\bf W}, \mathcal{B}({\bf W})) は可測空間をなす)。
確率測度の導入: ウィーナー測度 P *2を持つ確率空間 ({\bf W}, \mathcal{B}({\bf W}), P)ウィーナー空間と呼ぶ。ウィーナー空間上の可測関数をウィーナー汎関数と呼ぶ。

ここではウィーナー測度 P が満たすべき性質は省略していますが,確率測度ならなんでも良いわけではなく特別な定義*3があります。そのことと同値な定義を以下に与えます。

ブラウン運動の性質: ({\bf W}, \mathcal{B}({\bf W})) 上の確率分布がウィーナー測度である連続確率過程をブラウン運動と呼ぶ。このことと,({\bf W}, \mathcal{B}({\bf W})) 上の連続確率過程 B = \lbrace B_{t}; t \in {\bf T} \rbrace が以下の性質をみたすことは同値である:
(1) B_{0} = 0
(2) 定常増分かつ独立増分を持つ
(3) 各 t > 0 に対し,B_{t} ~ N(0, t)
ウィーナー空間の見本過程*4
W = \lbrace W_{t}, t \in {\bf T} \rbrace (W_{t}: {\bf W} \ni w \mapsto w(t) \in {\bf R})
ブラウン運動である。

ちなみに,ここで {\bf W} がなすヒルベルト空間 L^{2} は,部分空間としてカメロン-マルチン空間というものを持っていて,ここで実現値からフーリエ展開によってウィーナー測度を得ることができるらしいんですが,計算が非常にややこしいため省略します😱

§ 弱義確率過程と可測確率過程

一般に確率過程は,時系列に並んだ確率変数の系として表されます。よってウィーナー過程の場合は,ウィーナー汎関数の系がウィーナー過程となります。

▼ウィーナー汎関数の系

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ウィーナー汎関数のはたらきを考える前に,確率過程に対してより強い定義を与えておきます。

単なる確率変数の系(つまり可測関数 X:\Omega \rightarrow {\bf R}の関数列 \lbrace X_{t}; t \in {\bf T} \rbrace)は弱義確率過程と呼ばれ,見本過程の解析には不十分です。よって以下の確率過程を考えます。

確率空間上に定義される写像
X:{\bf T} \times \Omega \ni (t, \omega) \longmapsto X_{t}(\omega) \in {\bf R}
が可測であるとき,X = (X_{t}(\omega))可測確率過程という*5。また X と同値な弱義確率過程が存在するとき X を弱義確率過程の可測変形という。

ここでウィーナー過程を可測確率過程と捉えてウィーナー汎関数のはたらきを図示すると,以下のようになります。ウィーナー汎関数が実数値関数 w を引数に取って実現値を返すような形です。

▼ウィーナー汎関数のはたらき

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§ まとめ

今回はウィーナー空間の構造についてまとめました。到達時間分布やマルチンゲール性など確率過程の性質についても追ってまとめていきたいと思います!

§ 参考文献

*1:簡単のため離散過程っぽく書いていますが,ウィーナー過程は連続確率過程です

*2:初期分布 \mu を明示すると P_{\mu} となります。また初期分布が出発点を x とするディラック測度 \delta_{x} であるとき P_{x} となります。今回は簡単のため原点から出発するものとし,下付き文字を省略しています。

*3:Wiener measure and Brownian motion などを参照ください

*4:個々の時間の関数 {\bf T} \ni t \mapsto X_{t} を見本関数と呼び,その系が見本過程です

*5:確率過程を構成する個々の時間の関数 w を確率的に取ってくるイメージでしょうか…

今週の振り返り

前回:

oimou.hateblo.jp

受験勉強

今週は確率と図形がメイン。確率については,演習をひたすらこなしているだけだとモチベーションが上がらないので,測度論の勉強も一緒に進めた。やり方としては,演習問題をこなすのにあわせて測度空間の絵を描いたりしてみるという感じ。受験に限らず,確率論は将来必ず使うことになるから,モチベーションが高いときに全力を傾けるスタイル。

測度論の手法自体は受験数学には直接かかわらないけど,それでも測度空間のイメージを掴んだおかげで,確率や事象に対するイメージが抽象的だったのがかなりハッキリした。ケアレスミスで間違うことはままあるけど,問題を読んでから解法フローの組み立てるのにほとんど迷わなくなったし,ミスの振り返りのときも原因がハッキリ分かるようになった。

また,確率論の教科書を読むにあたって位相空間論の知識が欠けていたので,大学時代にかじったところを復習&補完した。

使っている教科書はこちら。

集合・位相入門

集合・位相入門

基本的に以下の方針で進めた。

  • とにかく絵を描く
  • モチベーションが上がらない章は一旦飛ばして,先で飛ばした部分の知識が必要になったら戻ってくる
  • 証明を追う

これで「 L^{p}(\Omega, \Sigma, P) はノルム ||X||_p = E(|X|^p)^{1/p} によって実バナッハ空間をなす」とか言われても読める!読めるぞ!!(感動)

受験勉強以外

職務経歴書

基本的に今は受験勉強に集中だけど,いざという時のために職務経歴書をまとめていた。

シャノンのエントロピーの論文

離散情報パートを読み終わったので,ブログ用に下書きをまとめているところ。

確率変数と確率分布の絵を描いてみる

確率変数と確率分布についてほんの少し理解が深まったので絵を描き直してみた。間違いがあればご指摘いただけると助かります🙏

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確率空間 (\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{R}) から可測空間 (S, \mathcal{S}) への \mathcal{A}/\mathcal{S}-可測関数 X が,確率変数である。
また, (S, \mathcal{S}) 上に導入される確率測度 P \circ X^{-1}X確率分布という。

あやふやなこと

  • 測度は集合関数だけど,可測関数 X は点関数のはずだから,逆関数 X^{-1} が集合族上で働いているのはなぜなのか
  • 確率変数の表記が色々ある件について*1

参考資料

*1:文脈によって判断するしかなさそう 確率の記法 - 機械学習の「朱鷺の杜Wiki」

先週の振り返り

土日に旅行していて振り返りを書くタイミングが無かったので,1日遅れたけど書きますね。 前回のはこれ。

oimou.hateblo.jp

受験勉強

先週は確率関連の勉強が中心だった。

日がな一日演習問題を解き続けていたら,これまでの人生,確率関連の問題をほとんど雰囲気で解いてきていたことに気づいてしまった😱 そんな調子なので,問題を間違えても論理的に振り返りができない。これはマズイ…。苦手意識は無かったけど実は苦手科目だったみたい。

ということで,ひとつ問題を解いたあとの振り返りとして「わからないことは何か」「なぜこの解答は間違いなのか」明確化するようにして,ゆっくり取り組んだ。おかげで,論理的に解法フローを立てて解けるようになってきたと思う。

受験勉強以外

UnlimitedHand

UnlimitedPaint

もくもく会で作っていたものが動いてくれたので,ひとまずリポジトリを作った。

筋電義手関連

筋電義手関連で,本屋に行ったり論文を漁ったりした。

群論

群論はしばらく継続的に取り組めているのでよしよし。ところで受験勉強をしてるときにバーンサイド補題を使いたい機会があるけど,理解が甘いのかあんまり使いこなせてない…

シャノンのエントロピーの論文

シャノンのエントロピーの論文(A Mathematical Theory of Communication)を読んでいる。これは,ノートを1冊潰して論文を読む練習をしたい,という謎のモチベーションによるもの。一緒に測度論的確率論の勉強ができてとてもありがたい!

oimou.hateblo.jp

箱根

大学時代の同期5人で箱根旅行に行ってきた!受験に向かう不安とか話せたので良かった。

今週の振り返り

ツイートを頼りにざっくりと1週間を振り返る。

受験勉強

受験勉強の方は引き続き。

oimou.hateblo.jp

今週は中だるみしてモチベーション低下してしまっていたけど,あまり気負いすぎず少しずつでも進めていきたい。先は長い。

今はずっと数学をやっているけど,確率・統計のあたりに差し掛かったのでモチベーションが回復した。

息抜きに物理や漢文に少し手を付けてみたりもするけど,まだ一日の大半は数学。

受験勉強以外

受験勉強以外の時間は,とにかく自分の好きなことの勉強に時間を割くことにしている。

ひとつ注意しているのは,理論だけでなくてソフトウェアなりハードウェアなりモノをつくること。自分自身のモチベーション維持も兼ねて。

ツイートを頼りに振り返ってみると,今週は以下のキーワードを掘り下げていたらしい。

  • 生体刺激(筋電刺激)
  • 強化学習
  • バイオ・ケモインフォマティクス
  • R

生体刺激(筋電刺激)

不定期開催の Skype もくもく会がとても良い機会なので,UnlimitedHand に絡めながら周辺技術を色々勉強している。

ずっと食わず嫌いしてた R での可視化にも慣れてきた。やっぱり個人的に興味のあるデータを扱うのが一番楽しい。

強化学習

生体情報で機械学習をやりたくて,MRI 画像のデータセットを集めたりしてたけど,最終的には UnlimitedHand から取れるデータを使って強化学習で遊んでいた。Keras が便利。

ちょうど Cosyne という Computational Neuroscience 系の学会がツイッターで盛り上がっていたのもタイミングが良かった。

バイオ・ケモインフォマティクス

R で学ぶ統計力学とか面白そうなあと思いながらネットサーフィン(死語)してたら,バイオインフォマティクスの薄い本を見つけたのでかじってみた。

しかし R × 物理系の情報が少ないのはなんでかなあ。

R

食わず嫌いの ggplot を克服したのと,dplyr という超絶便利ライブラリを見つけたおかげで,クオリティオブ R ライフがかなり向上した。ちなみに dplyr は「デプリール」と読んでる。

ついでに,積読してあった Python のデータサイエンス本を R で消化した。しかし Python も R も,データサイエンス周りのライブラリは設計思想が似ているのか分からないけど,R でもそれほど違和感無く取り組めた。

映画

La La Land を観た!オススメです。

まとめ

ツイートを頼りに振り返るのは楽(575)

劇場版SAOのARデバイス実装方法を考えてみる ソードアート・オンライン オーディナル・スケール

ソードアート・オンライン オーディナル・スケール を観てきました。

※ ネタバレはちょっとだけあります。気になる方はご注意ください。

sao-movie.net

ということで書きます!

感想としては,非常〜に良かった。SAOはアニメの方は全て鑑賞済みでしたが,今回の映画はさらに近未来っぽさが磨かれていました。アシスタントAIやウェアラブルバイスのある日常がリアリティをもって描かれているなあという印象で,「ディープラーニング」という言葉がうまく一般ナイズされた使われ方だったのも面白かった。まさにマイフェイバリット近未来SFムービーという感じです。

さて,作中に出てきたオーグマー(Augma)というARデバイスが気になったので,帰って酔っ払いながら実装方式を考えてみましたので,軽くまとめてみたいと思います。半分妄想半分リアルという感じです。また,技術的な内容についてガチで詳しい方がいらっしゃいましたら,Twitterなどでツッコミをいただけると泣いて喜びます!!😂

オーグマーとは?

オーグマーは,作中で街の人々が装着している小型のウェアラブルバイス。外見はちょっと大きめのBluetoothヘッドセットみたいな感じですね。名前はおそらくAR(Augmented Reality)の Augmented から来ていると思います。

小型のヘッドホンのような外見の次世代ウェアラブル・マルチデバイス。 … 覚醒状態の人間に視覚・聴覚・触覚情報を送り込むことが可能(一部略)

引用元:AR(拡張現実)型情報端末《オーグマー(Augma)》

オーグマーを装着するとARでLINEのようなメッセージ交換ができたり,今でいうスマホの機能がAR空間上で自然にできるようになっているイメージです。また,オーグマーによってARゲーム「オーディナルスケール」に参加することができ,Ingressよろしく街中がゲーム空間になって遊び放題になったりします。詳しくは映画をご覧くださいw

オーグマーの「覚醒状態の人間に視覚・聴覚・触覚情報を送り込むことが可能」という特徴に非常に興味をそそられて,どうしたら実装できるかを考えてみました。

実装について

さて,オーグマーの実装について以下の2点からまとめてみます。

  1. ハードウェアレイヤ
  2. ソフトウェアレイヤ

1. 実装(ハードウェアレイヤ)

まずメインの機能要件として,「覚醒状態の人間に視覚・聴覚・触覚情報を送り込む」機能があるので,ユーザーの中枢神経系を刺激してやる必要があると思われます。

公式サイトのオーグマーのスケッチには「視線検出カメラ搭載ダイレクトプロジェクトシステム」と書いてあるので,FOVEのように視線を検出しつつ,網膜にプロジェクションする想定のようにも見えます。しかし,中枢神経系を直接刺激しない方式では,視覚・聴覚くらいは刺激できたとしても,全身の触覚を刺激するのは難しそう(一応,作中ではビブスやコントローラのバイブレーションでそれっぽさを出している設定らしい)。

また,オーグマーの実装には高いリアルタイム性が要求されるため,それを満たせるようなハードウェア実装が必要です。

1.1. 脳の刺激方式

前述の通り,中枢神経系を刺激する方式を考えます。

生体へ刺激を伝えるためのキャリアはいくつか考えられます。磁力・電気・電波・光・放射線・音波…など。神経細胞を刺激するためには,ひとまず電気的刺激ができると良さそう。個人的には,磁気を用いる手法が良さそうですが,光遺伝学ファンとしては光で実装してほしいですw

磁気

離れた場所へ局所的に電位を発生させる方式として,磁気を用いた方法があります(経頭蓋磁気刺激法 - Wikipedia)。頭部を囲むコイルに電流を流してパルス磁束を発生させると,神経束などの良導体に渦電流を発生させ,神経を刺激します。

この磁気刺激法の空間分解能は,2004年時点で5mm程であったようです。オーディナルスケールの舞台である2026年時点ではより高精度になっているはず…と思いたい!

電波

電波はレンズ効果により局所的な刺激が可能。電位を発生させることはできませんが,ホットスポットと呼ばれる局所的な熱を発生させることができます。

そこで,熱によって神経細胞が活性化するようにあらかじめ脳を改変しておけば,電波の利用も可能になるかも。ちょうど「脳にドライバをインストールしておく」みたいな感じですね。遺伝子編集済みの神経性ウイルスを運び屋として「脳をドライバに感染させる」のが良さそうと思います。ただし熱反応だと即時性や冷却など問題が多いですかね。

光は頭皮や頭蓋骨に遮られて深部に到達できないのが難点ですが,もし到達することができれば,光遺伝学を利用して即時性のある刺激が可能です(光遺伝学 - 脳科学辞典)。これも上述の電波のケースのように,脳にドライバをインストールしておく必要がありますね。あとは,光をどうやって深部に届けるかが大きな課題となります。

1.2. 脳活動の計測

オーグマーは刺激オンリーではなく,同時に脳活動の計測も行っていると思われます。また,(これはネタバレですが)オーグマーはARだけでなくVR機能も備えているので,VRモード時はユーザの運動信号をフックしてゲーム側に流さないといけません。そのためにも脳活動の計測は必須です。

ところが,オーグマーの形状からすると単極誘導の脳波計っぽいので,神経細胞一つ一つの活動までは計測できていないんじゃないかと推測します。もしかしたら,劇中でいう「ディープラーニング」技術を使って,脳波から詳細な脳活動を計測できるようになっているのかもしれませんが…この辺はよく分かりません。

1.3. バッテリー

上で述べた磁気を用いる刺激手法では,MRIと同じ1T程度の磁力を必要とするため,かなりの電力消費が想定されます。オーグマーサイズでこれだけの電力をまかなうのはちょっと無理がありそう。ただし,「経頭蓋磁気刺激法」+「磁気で活性化するような神経細胞改変」を組み合わせれば,生体エネルギーが使えるので少しはバッテリー消費が抑えられるでしょうか(試算はしていません)。

また,作中ではゲームフィールドにドローンが飛んでいましたが,ドローンからオーグマーへの給電というのも技術的にはアリかもしれませんね。

2. 実装(ソフトウェアレイヤ)

繰り返しになりますが,オーグマーの機能は「覚醒状態の人間に視覚・聴覚・触覚情報を送り込む」ですから,ユーザーの中枢神経系を刺激してやる必要があります。

ここで中枢神経系を刺激するというのは,特定部位のニューロンへ強制的に電位を発生させるということです。電位を発生させるには,電気的刺激を与えるか,あるいは神経伝達物質を調整するかどちらかの方式がありえますが,今回は前者の方式を取ります。視覚・聴覚・触覚を刺激する必要があるので,視覚野・聴覚野・運動野をそれぞれ刺激することになるでしょうか。あまり高次の受容野を刺激するのではなく,低次の受容野を刺激してやった方が良さそうです。

2.1. 刺激部位のマッピング

刺激部位の特定にはあらかじめ脳機能マッピングが必要です。

視覚なら視覚野を適当に刺激すれば良いわけではなく,各個人の脳の構造にあわせて刺激部位を調整(キャリブレーション)してあげなければいけません。これには,神経細胞と概念(知覚される映像・音声など)のマッピングが含まれます。つまり「どの部位を刺激すれば特定のモンスターの容姿を想起できるのか?その神経細胞はどこにあるのか?」ということです。

一説では,脳において概念の記憶はシナプスのネットワークに記録されており,また,ニューロンと概念は一対一対応ではなく,複数ニューロンシナプスの結合によって概念が形成されると言われています(スパースコーディング)。これを外部刺激することによって特定の知覚を与えることは非常に困難ではありますが,既にいくつか簡単な事例が出てきています。

個人的にはこの刺激部位のマッピングが一番興味深いポイントでした。たぶん,オーグマーを買ったらまずキャリブレーションしないといけないんだと思います。映画を観ている最中も「あんなに激しく動いたらせっかくキャリブレーションした刺激部位がズレてまう!!」と変なところで手に汗握っていました。

2.2. 知覚のフレームレート

外部刺激による知覚は継続的に与えていかなければ,ARのリアル感に大きく影響します。せっかくARゲームを楽しんでいるのに,途中で外部刺激が途切れてチラチラとリアルワールドが見えたりしてほしくないですよね。とはいえ,ユーザーが動いてオーグマーが簡単にズレてしまうような環境では,正確な刺激の継続は困難です。できれば正確かつ継続的な刺激はなるべくサボれるようにして,それでいてstableに知覚を与えたい。

そこで,直接対象イメージ(モンスターなど)の知覚を与えるのに加えて,「現実の物体があたかもゲームオブジェクトに見える」ような錯覚を誘導してあげる実装もアリだと思います。これにはプライミング刺激などが応用できるかもしれません。もし知覚と知覚のフレームの間を錯覚によってシームレスに繋ぐことができれば,スムースで「ヌルヌル」したARゲームが楽しめます。例えるなら,アニメーションのフレームとフレームをモーションブラーで補うようなイメージ。

錯覚を利用したフレーム埋めは,現実の空間情報を使うARならではの方式です。ちなみに,本映画の空間情報についての考察はこちらの記事が面白かったのでご紹介しておきます。

niryuu.hatenablog.com

まとめ

あとはゲームサーバからオーグマーへの通信プロトコルなんかも滅茶苦茶気になりますね。作中ではゲームサーバが1台しか無いっぽくて「マジか…大丈夫か…」と思いましたが,その辺のインフラ事情も気になります。多分2022年には「オーディナル・スケールを支える技術」みたいな記事がQiitaに投稿されているはず。

まとまりのない文章になってしまいましたが,あーだこーだ言わずとも面白い映画です。みんなも観に行きましょう!

参考文献

カンデル神経科学

カンデル神経科学

  • 作者: 金澤一郎,宮下保司,Eric R. Kandel,James H. Schwartz,Steven A. Siegelbaum,Thomas M.Jessell,A. J. Hudspeth
  • 出版社/メーカー: メディカルサイエンスインターナショナル
  • 発売日: 2014/04/25
  • メディア: 大型本
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生体物理刺激と生体反応

生体物理刺激と生体反応

受験勉強のようす 2017年2月

少し落ち着いてきたので,受験勉強*1の進捗をまとめてみる。

〜1月中旬

退職後の身の回りの整理を色々やった。このあたりは割愛。

1月下旬:高校数学おさらい

手元にあった参考書で高校数学をおさらい。数学I,A,II,B,III,Cを順番に演習問題を解く形で進めた(若干古い参考書なのでCが入ってる)。

まずは勉強時間を1日8時間と決めて取り組むことにした。長時間の自宅学習でどのくらい集中力が持つか心配だったので,まあとりあえず働いていた頃の勤務時間と同じくらいは集中力が持つだろう…ということで8時間にした。

また1日8時間の内訳は,ポモドーロタイマーを使って30分単位(25分集中+5分休憩)でリズムを作った。時間を区切った方が集中できて良い。

これを週6日(日〜金)。土曜日は家族と休みを合わせられるのでお休みにした。

毎週金曜日は振り返り。その週の進捗をKPTで振り返って,翌週の勉強プランを立てた。

2月上旬〜今:赤チャート

大学入学時期の感覚をだいたい思い出せたかな…ってなところで,2月上旬から赤チャートに移った。

なお,勉強時間のリズムは1月から変わらず。いや,むしろ1日12時間くらいコンスタントに集中できることが分かって自分でもビックリ。ずっと数学に集中していてコンテキストスイッチが無いからっていうのも大きいかもしれない。

赤チャートの中身はこんな感じ。

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基本的に1ページに1つ例題が載っている。解法指針が載っているのはもちろんだけど,解答の文章がしっかり書いてあるのが非常に助かる。証明を書く際の参考になる。

進行ペースとしては,今のところ1日40ページくらいのペースで進んでいる。

ノートの取り方は,だいたいノート1ページに参考書1ページ(=1例題)が対応する感じで書いている。

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もうかれこれ何年もノートに証明を書くことなんてなかったけど…久しぶりにノートを取りはじめてみると,行き当たりばったりで見出しスタイルを付けるでなくちゃんとブロックインデントを意識するようになっていて,自分でもビックリした。成長を感じる…。プログラマーの性かもしれない。

また,進め方としては数をこなすよりも理解の定着を優先している。途中で詰まってしまっても,どこまで分かってどこが分からなかったのかを明らかにすることが大事(だと思っている)。

あと,理解しないまま進むのがなんとなく自分の性に合わないというのもある。

難しい問題については,フローチャートを書いて解法を整理するのを心がけるようにしてみた。

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フローチャートというツールが効果的かどうかは正直怪しいけど,落ち着いて解法を整理したり,補助的な命題を証明しながら段階的に証明を進めるときには結構役立つし,書いているうちに既知のパターンを思い出したりする。

↓は書籍「いかにして問題をとくか」に書いてある「問題を理解すること」についての一節。

問題がはっきりと心にきざみ込まれて,一寸目を離してもそれを見失ってしまう気づかいがなくなってから出発すべきである。
─ 「いかにして問題をとくか」より引用

素晴らしい言葉。雰囲気で問題を解いている状態にならないように気をつける。

今後

今のところよく引っかかるのがこの問題。意識的に改善したいところ…。

2月は引き続き赤チャートを進める。来月以降は頃合いを見て別科目にシフトする予定。

数学は楽しい!

*1:受験は来年の予定。決して今月受験ではない